1. Negasi
Negasi (ingkaran) adalah suatu pernyataan baru yang dapat dibentuk dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pernyataan semula benar.
Jika pada suatu pernyataan p, diberikan pernyataan lain yang disebut negasi p, dilambangkan oleh ~p, maka dapat dibentuk dengan menuliskan “Tidak benar…” di depan pernyataan p atau jika mungkin, dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”di dalam pernyataan p.
Nilai kebenaran negasi suatu pernyataan memenuhi sifat berikut ini: Jika p benar, maka ~p salah; jika p salah maka ~p benar. Jadi, nilai kebenaran negasi suatu pernyataaan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Sifat tersebut dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut ini.
p
|
~p
|
B
S
|
S
B
|
Contoh:
a. p : Semua bilangan prima adalah ganjil.
~p : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil.
~p : Ada bilangan prima yang tidak ganjil.
b. q : 2 + 2 = 5
~q : Tidak benar 2 +2 =5
2. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Ù q”.
Nilai kebenaran konjungsi p Ù q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar, maka p Ù q benar; sebaliknya, jika salah satu p atau q salah serta p salah dan q salah, maka p Ù q salah. Dengan perkataan lain, konjungsi dua pernyataan akan bernilai benar hanya bila setiap pernyataan bagiannya bernilai benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.
p
|
q
|
p Ù q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
Contoh :
a. p : 2 + 3 = 5 (benar)
q : 5 adalah bilangan prima (benar)
p Ù q : 2 + 3 = 5 dan 5 adalah bilangan prima (benar)
b. p : 12 habis dibagi 3 (benar)
q : 15 habis dibagi 2 (salah)
p Ù q : 12 habis dibagi 3 dan 15 habis dibagi 2 (salah)
3. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Ú q”.
Nilai kebenaran disjungsi p Ú q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar serta salah satu diantara p dan q benar, maka p Ú q benar. Jika p dan q dua-duanya salah maka p Ú q salah. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.
p
|
q
|
p Ú q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
Contoh :
a. p : 5 + 3 = 8 (benar)
q : 8 adalah bilangan genap (benar)
p Ú q : 5 + 3 = 8 atau 8 adalah bilangan genap (benar)
b. p : 5 + 3 ¹ 8 (salah)
q : 8 bukan bilangan genap (salah)
p Ú q : 5 + 3 ¹ 8 atau 8 bukan bilangan genap (salah)
4. Implikasi
Implikasi (pernyataan bersyarat/kondisional) adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika “jika . . . maka . . .”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Þ q”, dapat dibaca “jika p maka q”.
Nilai kebenaran implikasi p Þ q memenuhi sifat berikut: jika p benar dan q salah, maka p Þ q dinyatakan salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p Þ q dinyatakan benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.
p
|
q
|
p Þ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
Contoh :
a. p : 5 + 3 = 8 (benar)
q : 8 adalah bilangan genap (benar)
p Þ q : jika 5 + 3 = 8 maka 8 adalah bilangan genap (benar)
b. p : 5 + 3 ¹ 8 (salah)
q : 8 adalah bilangan genap (benar)
p Þ q : jika 5 + 3 ¹ 8 maka 8 adalah bilangan genap (benar)
5. Biimplikasi
Jika dua pernyataan p dan q dirangkai dengan menggunakan dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …”, maka diperoleh pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut biimplikasi. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Û q”.
Nilai kebenaran biimplikasi p Û q memenuhi sifat berikut: p Û q dinyatakan benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama. pÛ q dinyatakan salah jika mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.
p
|
q
|
p Û q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
Contoh:
a. p : 2 + 6 = 8 (benar)
q : 2 < 8 (benar)
p Û q : 2 + 6 = 8 jika dan hanya jika 2 < 8 (benar)
b. p : 2 + 6 ¹ 8 (salah)
q : 2 > 8 (salah)
p Û q : 2 + 6 ¹ 8 jika dan hanya jika 2 > 8 (benar)
C. Konvers, Invers dan Kontraposisi suatu Implikasi
Dari suatu implikasi p Þ q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu:
1. q Þ p, yang disebut konvers dari p Þ q.
2. ~p Þ ~q, yang disebut invers dari p Þ q.
3. ~q Þ ~p, yang disebut kontraposisi dari p Þ q.
Tabel kebenaran hubungan antara implikasi-implikasi tersebut adalah:
Implikasi
|
Konvers
|
Invers
|
Kontraposisi
| ||||
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p Þ q
|
q Þ p
|
~p Þ~q
|
~q Þ ~p
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
S
B
B
|
B
B
S
B
|
B
B
S
B
|
B
S
B
B
|
Dari tabel kebenaran terlihat bahwa nilai kebenaran p Þ q sama dengan nilai kebenaran ~q Þ ~p. Begitu pula nilai kebenaran q Þ p sama dengan nilai kebenaran ~p Þ ~q.
D. Tautologi dan Kontradiksi
Suatu proposisi yang hanya memuat B pada kolom terakhir tabel kebenarannya, yaitu benar untuk setiap nilai kebenaran dari peubahnya, disebut tautologi. Sebaliknya proposisi disebutkontradiksi, jika kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat S untuk setiap nilai kebenaran dari peubahnya.
Tabel kebenaran tautologi.
p
|
~p
|
p Ú ~p
|
B
S
|
S
B
|
B
B
|
Tabel kebenaran kontradiksi.
p
|
~p
|
p Ù ~p
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
E. Pernyataan Berkuantor
Kuantor adalah pengukur kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Biasanya pernyataan berkuantor mengandung katasemua, setiap, beberapa, ada dan sebagainya. Kata-kata tersebut merupakan kuantor karena kata-kata tersebut menyatakan ukuran jumlah. Kuantor dibagi menjadi dua, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor Universal
Pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap disebut pernyataan berkuantor universal. Kata semua atau setiap disebut kuantor universal. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal.
a. Semua kuda berlari cepat.
b. Setiap bilangan asli lebih besar daripada nol.
Kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada kalimat terbuka itu dengan nilai-nilai pengganti pada himpunan yang telah ditentukan. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan adalah dengan membubuhkan kuantor universal di depan kalimat terbuka itu. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut.
" x, p(x)
dibaca: untuk setiap x berlakulah p(x) atau untuk semua x berlakulah p(x)
Kuantor Eksistensial
Pernyataan yang menggunakan kata beberapa atau ada disebut pernyataan berkuantor eksistensial. Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor eksistensial.
a. Ada bis kota yang bersih.
b. Beberapa dinding rumah terbuat dari papan kayu.
Seperti halnya pada kuantor universal, kuantor eksistensial juga dapat digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut.
$ x, p(x)
dibaca: beberapa x berlakulah p(x) atau ada x berlakulah p(x)
Ingkaran Kuantor Universal
Perhatikan contoh berikut.
p : Semua kucing berwarna putih
ingkaran dari p adalah ~p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih, atau
~p : Ada kucing yang tidak berwarna putih
Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut.
~[" x, p(x)] º $ x, ~p(x)
dibaca: ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang bukan p(x)”
Ingkaran Kuantor Eksistensial
Perhatikan contoh berikut.
p : Ada pria yang menyukai sepak bola
ingkaran dari p adalah ~p : Tidak ada pria yang menyukai sepak bola, atau
~p : Semua pria tidak menyukai sepak bola
Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditentukan sebagai berikut.
~[$ x, p(x)] º " x, ~p(x)
dibaca: ingkaran dari “ada x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x bukan p(x)”
F. Penarikan Kesimpulan
Modus ponens, modus tollens dan silogisme adalah metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya (disebut premis). Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (disebut kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-premis semula. Penarikan kesimpulan seperti itu sering juga disebut argumentasi.
Suatu argumentasi disusun dengan cara menuliskan premis-premisnya baris demi baris dari atas ke bawah, kemudian dibuat garis mendatar sebagai batas antara premis-premis dengan konklusi. Misalkan pernyataan-pernyataan yang diketahui (premis-premis) adalah a dan b, konklusinya c, maka argumentasi tersebut dapat disajikan dalam susunan berikut.
a ……. premis 1
b ……. premis 2
\c ……. kesimpulan/konklusi
Pernyataan a sebagai premis 1, pernyataan b sebagai premis 2, dan pernyataan c sebagai kesimpulan/konklusi. Tanda \ dibaca “jadi” atau “oleh karena itu”.
1. Modus Ponens
Misalkan diketahui premis-premis p Þ q dan p. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi q. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus ponens atau kaidah pengasingan. Modus ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q ……. premis 1
p ……. premis 2
\ q ……. kesimpulan/konklusi
2. Modus Tollens
Misalkan diketahui premis-premis p Þ q dan ~q. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi ~p. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus tollens atau kaidah penolakan akibat. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q ……. premis 1
~q ……. premis 2
\ ~p ……. kesimpulan/konklusi
3. Silogisme
Misalkan diketahui premis-premis p Þ q dan q Þ r. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi p Þ r. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut kaidah silogisme. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q ……. premis 1
q Þ r ……. premis 2
\ p Þ r ……. kesimpulan/konklusi
Tidak ada komentar:
Posting Komentar